ABS/OLA Sinusoidal Modeling

這篇全名為Analysis-by-Synthesis/Overlap-Add Sinusoidal Modeling Applied to the Analysis and Synthesis of Musical Tones，是1992年AES的Journal，主要精神在於Analysis-by-Synthesis，概念其實跟 codec 的 encoder 內部包 decoder 很像，它每一圈都會找一個新的 Sinusoid並加入，以致於原訊號扣掉這些Sinusoids後會最小，最後再依照這些Sinusoids來分析下次要找的參數。

本週我報告了ABS流程及公式推導，老師提出了一個問題。

在計算 least square error 時，ω 如果照 paper 上說的只是將每個frequency bin代進去看誰最小，這個動作不就跟做DFT一樣？如果該訊號的頻率介於兩個bin之間又該如何？

論文 p501 第(25)式說明他是用每個bin代進去算的，後面我還沒報告的部份裡有另一個主要觀念 Quasi-Harmonic Modeling 則只有調整 partials 的位置，但前題是 f0 要找得準，其他部份要全部看懂後才能確定它是否沒做特殊處理。

而老師提出一個解決此問題的方向…

既然公式中原本只對 a 跟 b 做微分取極值，我們可以對 cos(ωn) 與 sin(ωn) 先做 Taylor expansion 後對ω做微分取極值，極值不只一個解，先前我們可以知道ω落在哪些bin之間，以此做判斷選出正確的極值即可。

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Dec. 9th. 2008 update

上次提到「ω 如果照 paper 上說的只是將每個frequency bin代進去看誰最小，這個動作不就跟做DFT一樣？」的問題，其實在論文上有說明 M 值可自訂，M 值 & Na(Analysis frame size) 與 SNR 的關係可在投影片上看到。之前之所以誤會成是 frame size 是因為 M 同時也是 DFT 的慣用標號，論文第三章的實作說明中只有一小句話有提到原始訊號轉 DFT 前需先 zero padding 到 M 的大小。

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Jan. 6th. 2009 update

今天回報已解決bugs及目前遇到的問題。投影片中有列出 4 個case，接下來打算先針對第二個case去找問題所在，這是沒有套用windows function，但FFT size有加長的結果，很明顯phase跑掉了。

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Jan. 13th. 2009 update

由於 revise 原本論文的算式已找不出錯誤，某天我翻出同作者在五年後發的另一篇論文：Speech Analysis/Synthesis and Modification Using an Analysis-by-Synthesis/Overlap-Add Sinusoidal Model，雖然這兩篇論文內容極為相似，不過我發現有部份算式不一樣，舊論文在推導MSE時使用

新論文則是用

換了新論文的算式，套上pure sine後結果很正確 (case 4-4)，很開心的套用到 violin 第一個frame也正確，但跑到第四個frame時便找錯頻率了 (case 4-5)。也因為如此，找出了另一個主要問題。

論文在反推phase時是用 -arctan(bi/ai)，這是因為公式的推導中會出現 sinφ/cosφ，但是，原本φ的範圍是介於 0~2π，arctan的結果卻只會落在 +-0.5π，導致當我們用 cos 去製造 sinusoids 時，phase的平移範圍太小，當這個frame起始的幾個samples值是呈現遞減趨勢時，phase的誤差會剛好差π。解決的辦法就是改用 Matlab 的 angle function。(case 4-6)

最後，實驗結果還是有phase的偏移，所以開始針對phase再開新的case來討論。目前的問題出在：在找第一個 sin 時是正確的，找第二個時 phase 便會出錯，可參考 case 5-2，第一個 sin 的frequency index落在 14, 15, 16，第二個在 17, 18, 19。中間的圖說明能量上跟原訊號是很完美的貼近，但下圖的 phase 卻跑掉，導致上圖的波形有所差異。

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